ÓPTICA GEOMÉTRICA: Espejos y lentes.

La óptica, una de las ramas más antiguas e interesantes de la física encargada del estudio de la luz, especialmente de la luz visible en el espectro electromagnético, tiene un impacto directo en nuestra vida viéndose involucrada desde la astronomía hasta la medicina y fotografía diaria; algunos fenómenos dependen del comportamiento onda-partícula de la luz teniendo que hacer uso de la mecánica cuántica, sin embargo se puede hacer un estudio simplificado de fenómenos ópticos haciendo uso de la

Rayo luminoso: es la línea imaginaria por donde se propaga la luz basandose en el principio de propagación de la luz en línea recta.

Óptica geométrica: se basa en el uso del concepto de siendo una aproximación del comportamiento de la luz utilizando las leyes de reflexión y refracción, despreciando los efectos de difracción ligados al comportamiento ondulatorio de esta.

Principio que debe su nombre a Christian Huygens celebre físico y matemático que en 1678 propuso que la luz era un fenómeno ondulatorio, basándose en el concepto de frente de onda.

Este principio nos dice que todo punto de un frente de onda inicial se puede ver como una fuente de ondas esféricas secundarias que se propagan en todas las direcciones con la misma frecuencia, longitud de onda y velocidad que el frente de onda inicial, haciendo uso de esto podemos predecir la posición futura del frente de onda inicial siendo la envolvente de todas las ondas secundarias.

Principio extremal enunciado por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, establece que la trayectoria que recorre la luz de un punto a otro es tal que el tiempo requerido es mínimo, enunciado de esta forma es útil para muchos casos sin embargo es necesario hacer notar que en algunos casos la luz sigue un camino óptico máximo por lo tanto el principio de Fermat se reformuló como sigue: el trayecto que sigue la luz para propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria.

Estos fenómenos son característicos de las ondas en general, la reflexión de la luz se da cuando esta choca contra una superficie y es rechazada por ella en una especie de "rebote" reflejándose con el mismo ángulo de incidencia respecto a la normal a la superficie, en el caso de la refracción se produce cuando la luz pasa de un medio a otro medio con un indice de refracción distinto, el indice de refracción es la relación entre la velocidad de propagación de la onda en un medio conocido y la velocidad de propagación en el medio al cual pasa, en el caso de la luz su velocidad en el vacío es una constante conocida por lo tanto el indice de refracción para la luz viene dado por: siendo "v" como se dijo antes la velocidad de propagación en el medio al cual esta pasando.

Las leyes que gobiernan estos fenómenos pueden ser deducidas haciendo uso del principio de Fermat o del principio de Huygens, a continuación procederemos a ello haciendo uso del principio de Fermat.

Un rayo incidente que parte de A choca con la superficie reflectante en O, se refleja y sigue una trayectoria hasta B, "O" puede encontrarse en cualquier punto de la recta horizontal, siendo i y r los ángulos de incidencia y reflexión respectivamente.

La trayectoria total es s1 + s2 y el tiempo empleado para recorrer la misma vendrá dado por siendo "v" la velocidad de propagación. De los triángulos que se forman podemos ver que:

Si movemos ligeramente el punto O los ángulos presentarán una variación di y dr. La variación dt del tiempo vendrá dada por:

La línea horizontal representa el plano de separación de dos medios distintos, cuyas velocidades de propagación son v y v' respectivamente. Siendo AOB la trayectoria de un rayo que se propaga de A hasta B, θ y φ los ángulos de incidencia y refracción respectivamente. El tiempo viene dado por con

Si movemos ligeramente el punto O los ángulos presentarán una variación dθ y dφ. La variación dt del tiempo vendrá dada por:

Podemos considerar dos tipos de espejos; planos y esféricos, estos últimos con los cuales trabajaremos tienen la forma que resulta cuando una esfera es cortada por un plano pudiendo tener dos casos, cóncavos y convexos, para continuar es necesario definir algunos elementos:

- Centro de curvatura: es el centro de la esfera teórica a la cual pertenece nuestra superficie.

- Radio de curvatura: es el radio de dicha esfera.

- Eje principal: es la recta que une el centro de curvatura con el centro de nuestro espejo.

- Foco: es el punto sobre el eje donde convergen todos los rayos que inciden paralelos al eje.

Si la imagen se produce en el foco

Entonces:

Como un número divido entre infinito es cero resulta:

Y como i = f al sustituir tenemos que:

Lo que nos dice que, en los espejos esféricos el foco esta ubicado a una distancia de la mitad del radio de curvatura, lo que es igual al punto medio entre el vértice del espejo y el centro de curvatura.

- Un rayo que incide paralelo al eje pasa por el foco y viceversa.

- Un rayo que pase por el centro de curvatura se regresa por el mismo camino pero en sentido inverso debido a que la incidencia es perpendicular.

Estas propiedades son una consecuencia directa de la ley de reflexión con ellas podemos construir la imagen de un objeto sobre el eje sin importar su posición solo trazando dos rayos que emergen de la parte superior de este, uno paralelo al eje y otro que pase por el centro de curvatura, el punto donde estos rayos o sus prolongaciones convergen se conoce como punto imagen y es donde se formará nuestra imagen, si la imagen se forma por la prolongación de los rayos reflejados decimos que la imagen es virtual ya que no podemos recogerla en una pantalla, de no ser así decimos que es real.

Como se puede ver en los espejos convexos sin importar la ubicación del objeto la imagen siempre sera de menor tamaño que el objeto y virtual ya que al estar el centro de curvatura y el foco "detrás" del espejo la imagen es formada por las prolongaciones de los rayos y no puede ser recogida en una pantalla, ejemplos cotidianos de espejos convexos son los usados en los retrovisores de los automóviles.

- Lentes convergentes: estas son más gruesas en el centro y estrechas en sus bordes, se les denomina así porque todos los rayos que inciden paralelos al eje convergen en el foco, las lentes convergentes son lentes convexas o combinaciones de estas.

Ejemplos lente biconvexa.

Objeto situado más allá de la distancia focal.

Objeto situado en el foco.

En este caso no se forma imagen los rayos nunca convergen en un punto.

Objeto situado a una distancia menor que la distancia focal.

Como podemos ver aquí la naturaleza de la imagen cambia, se vuelve virtual y ya no está invertida además que su tamaño es mayor que la del objeto.

Ejemplo lente bicóncava.

Conclusiones generales:

- El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

- Todo rayo qué incida paralelo al eje se refleja pasando por el foco y viceversa.

- La luz siempre recorre un camino óptico extremo (máximo o mínimo)

- Los espejos cóncavos son convergentes y los convexos divergentes.

- En los espejos convexos la imagen siempre es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

- Las lentes bicóncavas son divergentes y las biconvexas convergentes.

- En la lente bicóncava la imagen siempre es virtual, derecha y menor tamaño que el objeto.

Espero hayan disfrutado de este fascinante tema, si así fue estén atentos a mi próxima publicación ;).

( Todas las imágenes y GIF's han sido hechos por mi usando el software matemático GeoGebra Classic 5.)

Material consultado:

Resnick, Halliday, Krane, (1992). Física Vol. 2. 4ta edición compañía Editorial Continental México.

Rodríguez, I., Lacasta, A., (1997). Apuntes de fisica I de topografía. Escuela Politécnica de Barcelona. https://ocw.upc.edu/sites/all/modules/ocw/estadistiques/download.php?file=27102/2009/1/53095/40788-3277.pdf

Font, J. (2003). Óptica geométrica. Universidad Politécnica de Cataluña. http://aransa.upc.es/ffettsi/Apuntes/Optica.pdf

(2016). Imagen de un objeto puntual: refracción en una superficie esférica. http://materias.df.uba.ar/f2byga2016c2/files/2012/07/RESUMEN_Deducci%C3%B3n-de-las-leyes-de-reflexi%C3%B3n-y-refracci%C3%B3n.pdf

Óptica geométrica. I.E.S Silverio Lanza departamento de física y química. http://www.educa.madrid.org/web/ies.silveriolanza.getafe/Ens/DptoFisicaQuimica/Bachillerato/Optica11May09.pdf