Cuando estudiaste teoría de conjuntos en tus clases de matemática, aprendiste que la cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que tiene. Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto D de los dedos de mi mano derecha es 5. Eso lo escribimos así: |D| = 5.

When you studied set theory, you learnt that the cardinality of a set is the number of objects in it. For example, the cardinality of the set D of my right hand fingers is 5. So, we write |D| = 5.

Las cosas se ponen divertidas cuando nos preguntamos por la cardinalidad de un conjunto infinito: ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de los números enteros? ¿Y la cardinalidad del conjunto de los números reales? ¿Es suficiente decir que ambas cardinalidades son infinitas? ¿Cuál de esos dos conjuntos es "más infinito" que el otro? ¿Tiene sentido esta última pregunta?

Things get funny when we ask for the cardinality of an infinite set: what is the cardinality of the set of integer numbers? What about the set of real numbers? Is it enough saying that both of them are infinite? Which one is "more infinite"? Does the previous question make sense?

Bien, para entender mejor lo que es la cardinalidad de un conjunto infinito, fijémonos en lo siguiente: ¿qué es lo que hacemos al contar los elementos de un conjunto finito? Por ejemplo, volviendo al ejemplo del conjunto D mencionado arriba, lo que hacemos es asignar a cada dedo un número natural (comenzando con el 1 y teniendo en cuenta el orden): 1 - el pulgar, 2 - el índice, 3 - el mayor, 4 - el del anillo, 5 - el meñique. Y concluimos diciendo que |D| = 5.

Ok. In order to get the idea, let's think about the following: what does mean "counting the members of an finite set"? Returning to the example of my fingers, I just map every finger with a number (starting with 1 and taking care of the order): 1 - the thumb, 2 - index finger, 3 - major finger, 4 - ring finger, 5 - pinky. Finally, we say |D| = 5.

Un matemático ve en ese proceso que hicimos, un ejemplo de función. Lo que hicimos fue definir una función entre el conjunto D y el conjunto de los primeros 5 números naturales. Pero, ¡no se trata de una función cualquiera! Esa función es biyectiva. O sea,

• a cada dedo le corresponde uno y sólo un número.
• a cada número le corresponde uno y sólo un dedo.

What a mathematician see in this process is an example of function. We just defined a function from D to the set whose members are the first 5 positive integers. But, that wasn't just any function! That function is bijective. That is to say:

• to every finger it corresponds one and only one number.
• to every number it corresponds one and only one finger.

Basados en esta idea, decimos que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si podemos definir una función biyectiva de A en B. En ese caso, escribimos |A| = |B|. En este sentido, el conjunto de los números naturales tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números enteros (esto lo podemos ver con más detalle en otro post, en el que hablaremos de Hilbert). Por otra parte, es imposible definir una función biyectiva entre el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números reales.

Based on this idea, we say that sets A and B have the same cardinality if it is possible to define a bijective function from A to B. In that case, we write |A| = |B|. For instance, the set of natural numbers and the set of integer numbers have the same cardinality (this will be clear on a next post in which we'll talk about Hilbert). On the other hand, it is impossible to define a bijective function from the set of integers to the real numbers.

¿Qué? ¿Cómo sabemos que es imposible? Una cosa es que yo sea incapaz de definir una función biyectiva entre esos conjuntos y otra muy distinta es que nadie sea capaz de hacerlo. Bien, no se trata de capacidad o incapacidad, es que no se puede. Ni yo ni nadie puede, ni podrá jamás, definir una función así.

What? How do we know that it is impossible? That I am not capable of define such a function is a thing, but another very different thing is that no one is capable of doing it. Well, it is not a matter of capability, it just cannot be done. Not me, nor anyone can or will ever, can define such a function.

Eso es un hecho, que fue demostrado por Georg Cantor. Un extraordinario matemático ruso que dedicó casi toda su vida académica a estudiar ese tema en particular. Estaba obsesionado con el tema. Tuvo que construir toda una teoría de conjuntos basada en cardinalidades para entenderlo mejor. De hecho, la teoría de conjuntos moderna le debe mucho al trabajo de Cantor. Te recomiendo el documental "Dangerous Knowledge" (dirigido por David Malone) en el que hablan de Cantor y otros grandes (Turing, Gödel y Boltzman).

That fact was proven by Georg Cantor, an extraordinary Russian mathematician which devoted almost all of his academic life to study this particular subject. He was obsessed with that subject. He had to build a whole set theory based on cardinalities in order to understand it better. In fact, modern set theory owes very much to the work of Cantor. I recommend you to watch the film "Dangerous Knowledge" (directed by David Malone) in which it is talked the history of Cantor and other great men (Turing, Gödel and Boltzman).

La imagen que ves arriba es mi versión de un retrato de Cantor. Se trata de mi primer intento de pintar con óleo sobre madera. Está basado en una foto en blanco y negro, así que tuve que improvisar los colores. También se me ocurrió poner en el fondo un aula de clases actual, como un tributo a la vigencia que tiene su trabajo hoy en día. Las matemáticas están fundamentadas (principalmente) en la Teoría de conjuntos de Cantor.

The image above is my version of a Cantor's portrait. It is my very first try to paint with oil on wood. It is based on a black and white photo, so I had to improvise colors. Also, I put a current classroom in the background as a tribute for the validity of his work in mathematics today. The foundations of Mathematics are based (mainly) on Cantor's set theory.

La ecuación que ves arriba y a la izquierda en el retrato, es la famosa hipótesis de continuo. Resulta que Cantor no fue capaz de demostrar que no existe una cardinalidad intermedia entre la cardinalidad del conjunto de los números enteros y la del conjunto de los números reales. Aunque él murió sin conocer la respuesta, hoy en día se sabe que no se puede demostrar. ¡Pero tampoco se puede refutar! Es decir, se puede hacer matemática suponiendo que es cierto y también se puede hacer suponiendo que es falso. De ahí el nombre de "hipótesis". Pero este es un tema para otro post. Dejemos este hasta aquí, ya se me hizo muy largo.

¡Hasta la próxima!
Jesús.

The equation at the up right corner in the portrait is the well known continuum hypothesis. It turns out that Cantor was not capable of proving that there not exists an intermediate cardinality between that of the set of integers and the cardinality of the real numbers. Although he died without knowing the answer, it is known nowadays that it cannot be proven. But, it cannot be refuted neither! I mean, you can do mathematics if you assume that it is true, and also, you can do mathematics if you assume that it is false. That is why we call it "hypothesis". But that is a subject for another post. Let's finish right now, this post got too long.

See you the next time!
Jesús.