TRASLACIONES EN ESPACIOS NORMADOS

Sea E un espacio normado y un vector fijo x∈E. La aplicación f_x:E → E definida por f_x(y)=x+y , ∀ y∈E, se dice que es una traslación.

Recordemos que un abierto A de la topología τ, es un subconjunto de E, tal que dado x ∈A, existe ε >0, tal que B_x(ε )={ y ∈ E:||y−x||<ε} ⊂ A. Se dice que B_x(ε ) es la bola abierta de centro x y radio ε.

Observe que ||f_x(y)−f_x(z)||=||y−z||, lo que garantiza la continuidad de la aplicación f_x. Realmente es un homeomorfismo, cuya inversa continua es f_−x. Por lo tanto f_x(A)=x+A ={ x+y: y ∈A} es abierto, si y sólo si, A es abierto. Como consecuencia, si A es un abierto y B es un subconjunto cualquiera de E, entonces B+A =={ x+y: x∈ B, y ∈A} es abierto. En efecto B+A=∪_x∈B(x+A) y la unión arbitraria de abiertos es abierto.

Otra propiedad importante es que si A y B son subconjuntos compactos del espacio normado E, entonces A+B es compacto.

En efecto, considere una sucesión x_n+y_n∈A+B. Como A es compacto, existe una subsucesión x_nk→x∈A y de manera análoga existe una subsucesión y_nks→y∈B , luego x_nks+y_nks→x+y∈A+B.

Si A es compacto y B es cerrado, entonces A+B es cerrado.

En efecto, sea w en la clausura (A+B)^—, luego existe x_n+y_n→w, Como A es compacto existe x_nk→x∈A, luego y_nk→w−x∈B, ya que B es cerrado, se deduce lo afirmado.

Finalizamos afirmando que si A y B son cerrados, entonces no podemos concluir en general que A+B sea cerrado.

Para verlo, considere E=R el conjunto de los números reales con la norma natural, es decir la dada por su módulo o valor absoluto. Sea A=N y B={1/n−n : n∈N}, Es fácil ver que ambos son cerrados por no tener puntos de acumulación. Además n+1/n−n=1/n→0, pero 0 ∉ A+B.

Lo anterior es un ejercicio propuesto en el Capítulo V del libro de Dieudonne: Fundamentos de Análisis Moderno. Editorial Reverté. 1979. Barcelona.