ISOMETRÍAS
Sea (E,d) un espacio métrico. Es decir d:E→R es una función real, tal que se cumplen los axiomas:
(a) d(x,y)≥0 y d(x,y)=0, si y sólo si, x=y , para todo x,y ∈E
(c) d(x,y)=d(y,x). para todo x, y ∈E
(c) d(x,y)≤d(x,z)+d(z.y). para todos x,y, z ∈E (desigualdad triangular)
Una función f:(E,d)→(E´,d´) es una isometría, si d´(f(x),f(y))=d(x,y) para todo x,y ∈E.
Es claro que toda isométría es inyectiva, como consecuencia del axioma (a).
Si además f es sobreyeciva, se dice que ambos espacios métricos son isométricos.
Si (E,d) es un espacio métrico y f:E→E´una biyección. podemos definir de manera natural una métrica en E´por d(x´,y´)=d(f(x),f(y)) donde f(x)=x´, f(y)=y´. Se dice que d´ es la métrica trasladada desde E.
Ejemplo. Consideremos la recta real R con su métrica natural, es decir d(x,y)=|x−y| y definamos la función real f:R→(−1,+1) por f(x)=x/(1+|x|). Esta función es una biyección, viendo que su inversa en la función g(x)=x/(1−|x|).
Podemos definir la métrica en R tarsladada desde el intervalo abierto J=(−1,+1). Es decir d´(x,y)=d(f(x),f(y))=|x/(1−|x|)−(y/(1−|y|))|. Es claro que esta métrica es acotada, realmente d´(x,y)≤2.
Si definimos a los número reales extendidos como R*=R ∪ { +∞. − ∞}, y definimos f(+∞)=1, f(− ∞)=− 1, de manera natural tenemos que
d´(+∞,x)=|1−x/(1+|x|)| y si x≥0, entonces d´(+∞,x)=|1/(1+|x|)| ,
d´(−∞,x)=|−1−x/(1+|x|)|, y si x≤0, entonces d´(−∞,x)=|1/(1+|x|)|
d´(+∞, − ∞)=2 .∎
Recordemos que un espacio métrico (E,d) es compacto, si toda sucesión { xn} en E, existe una subsucesión convergente { xnk}.
Teorema.Si f:(E,d)→(E,d) es una isometría, entonces f es una biyección.
En efecto, veamos primero que el rango f(E) es cerrado. Sea y ∈ f(E)— (clausura de f(E)), existe f(xn)→y. Como E es compacto, existe xnk→x, por la continuidad de f, se deduce que f(x)=y. Ahora sea y∈E y sea la órbita de f en y, definida mediante Of(y)={ x,f(y), f2(y),....}. Por la compacidad de E, existe una subsucesión fnk (y)→z.
Como nk+1=nk+ rk, luego d(fnk (y),fnk+1 (y))=d(frk (y),y)→0 cuando nk → +∞, nos dice que y ∈ f(E)—=f(E). Se deduce lo afirmado.∎
Teorema.Si f:(E,d)→(E,d) es una función tal que d(f(x),f(y))≥d(x,y) para todo x, y ∈E , entonces f es una isometría biyectiva.
Veamos primero que f es una isometría, de lo contrario existen x,y ∈E, tales que d(f(x),f(y))>d(x,y). Por un argumento similar al del teorema anterior se prueba que existen frk tales que d(frk(x),x), d(frk(y),y)→0. De d(frk(x),frk(y))≥d(f(x),f(y)) y usando a desigualdad triangular se deduce que que d(x,y)>d(x,y), lo que es contradictorio. Se termina la demostración usando el resultado anterior.∎
Terminamos con el siguiente resultado:
Corolario. Si f:(E,d)→(E,d) es una función biyectiva tal que d(f(x),f(y))≤d(x,y) para todo x, y ∈E , entonces f es una isometría.
En efecto, si g(x) es la inversa de f(x), entonces d(g(x),g(y))≥d(x,y) . Aplicando el teorema anterior, g es una isometría y se termina la prueba.∎
Nota. Es importante resaltar que los teoremas presentados son ejercicios del capítulo de compacidad del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston. El ejemplo es tomado del libro: "Fundamentos del análisis moderno" de Dieudonné. Editorial reverté 1979.