EJERCICIOS DE COMPACIDAD
EJERCICIOS DE COMPACIDAD
1.- Sea (X,d) un espacio métrico compacto y f:X→(−∞,+ ∞] es una función semicontinua superior, entonces f alcanza su valor supremo.
Solución. Recordemos que f es continua superiormente, si dado r un número real, entonces Ar={ x∈X: r≤ f(x)} es cerrado. Supongamos que m=sup{ f(x): x∈X}. Veamos que la familia de los Ar tiene la propiedad de las intersecciones finitas. En efecto, considere r1,....,rn y r=máx(r1,....,rn). Es claro que Ar=Ar1 ∩.... ∩Arn . Como X es compacto, ∩r∈R Ar≠∅. Sea w ∈ ∩r∈R Ar. Si f(x) < m, existe un número real r con f(w) <r< m, lo que realmente contradictorio.
2.-Sea (X,d) un espacio métrico y f, fn:X→R funciones tales cada fn es una isometría y fn(x)→f(x), para cada x ∈X. Demuestre que f es una isometría. Si X es compacto la convergencia es uniforme. Solución. Se quiere demostrar que d(f(x),f(y))=d(x,y) para x,y ∈X cualesquiera. Como d(f(x),f(y))≤d(f(x),fn(x))+d(f(y),fn(y))+ d(fn(x), fn(y))= d(f(x),fn(x))+d(f(y),fn(y))+ d(x, y) pasando al límite, deducimos que d(f(x),f(y))≤d(x,y). Similarmente d(x,y)=d(fn(x),fn(y))≤ d(f(y),fn(y))+d(f(x),fn(x))+d(f(x),f(y)) pasando al límite, deducimos que d(x,y)≤d(f(x),f(y)). Es decir d(f(x),f(y))=d(x,y), lo que prueba la primera parte del ejercicio. Ahora supongamos que X es compacto y la convergencia no es uniforme, existen ε>0. fnk y xnk, tales que d(fnk(xnk),f(xnk)) ≥ε. Por ser X compacto, existe xnks →x . Pero d(fnks(xnks),f(xnks)) ≤ d(fnks(xnks),fnks(x)) +d(fnks(x),f(x))+d(f(x),f(xnks))=d(xnks),x) +d(fnks(x),f(x))+d(x,xnks)→0, lo que es contradictorio. 3.-Sea una sucesión de funciones continuas fn:X →R tales que cada f1≥ f2≥f3≥.... y fn(x)→f(x), donde f es una función continua. Si X es un espacio métrico compacto, entonces la convergencia es uniforme.Solución. Como f1− f≥ f2− f≥f3− f≥.... , podremos suponer sin pérdida de generalidad que f=0. Es claro que fn≥0. Sea ε>0. Si x∈X, existe un n0(x), tal que si n≥ n0(x), entonces |fn(x)|=fn(x) < ε. Por otro lado existe una bola abierta B(x, εx), tal que fn0(x)(w) < ε para todo w∈B(x, εx). Por ser la sucesión decreciente, si n≥n0(x), entonces fn(w)< ε para todo w∈B(x, εx). Por ser X compacto existe un cubrimiento finito B(x1, εx1), B(x2, εx2),...,B(xk, εxk). Es claro que si n≥máx(n0(x1),...,n0(xk)), entonces |fn(x)|< ε, para todo x∈X.
4.-Sea X un espacio métrico compacto y A es una familia de funciones continuas reales sobre X. Suponemos que la familia es cerrada bajo el producto de funciones y tal que dado x∈X, existe una función fx∈A tal que se anula en un entorno abierto de x. Probar que A contiene a la función cero.Solución.Para cada x∈X,, existe una bola abierta B(x, εx). tal que fx(w)=0, para todo w∈B(x, εx). Por ser X compacto existe un cubrimiento finito B(x1, εx1), B(x2, εx2),...,B(xk, εxk). Es directo ver que f= fx1.... fxk=0 ∈ A.
Nota. Es importante resaltar que los ejercicios presentados son del capítulo de compacidad del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.