COMPACIDAD Y PUNTOS FIJOS
COMPACIDAD Y PUNTOS FIJOS
Sea (E,d) un espacio métrico y f:(E,d)→(E,d) una aplicación tal que d(f(x),f(y)) < d(x,y), para todo x,y ∈E. Se dirá que f es una aplicación contráctil.
Si existe un 0 < α < tal que d(f(x),f(y)) < αd(x,y), se dirá que la aplicación f es una contracción.
Un punto fijo de la aplicación f, es un x∈E tal que f(x)=x.
Valen los siguientes resultados:
Si E es compacto y f:(E,d)→(E,d) es una contracción, entonces f tiene un único punto fijo.
En efecto, considere An=fn(E). Como E es compacto, entonces f(E) es cerrado y por inducción cada An es cerrado. Además esta familia tiene la propiedad de la interseeción finita, es decir A1∩....∩An= An≠∅ y como E s compacto, entonces A=A1∩...∩An= An∩...≠∅ .
Sea x∈A, luego x=fn+1(xn). Consideremos la sucesión wn=fn(xn). Existe una subsucesión fnk(xnk)→a, de lo que se deduce por la continuidad de f que f(a)=x. Veamos que a=x. Como d(x, fnk(xnk))=d( fnk+1(xnk), fnk(xnk) < αnkd(E), siendo d(E) el diámetro de E, pasando al límite se deduce que d(x,a)=0, luego x=a. Es decir f tiene un punto fijo. Veamos que es único. Si f(y)=y, entonces d(f(x),f(y)=d(x,y) < αd(x,y). Es decir 1 < α, lo que es contradictorio .∎
Si E es compacto y f:(E,d)→(E,d) es contráctil, entonces f tiene un único punto fijo.
En efecto, siguiente los mismos argumentos del teorema anterior, para x∈A, x=fn+1(xn). La sucesión wn=fn(xn) tiene una subsucesión fnk(xnk)→a, luego f(a)=x. Veamos que a∈A. Como cada fn(X) es cerrado y fnk(xnk)→a, se deduce que a∈ fn(X) para todo n≥1, esto asegura lo afirmado. Como A es cerrado dentro de un compacto, es compacto y por lo tanto su diámetro d(A) es finito. Existen por lo tanto x, y∈A con d(x,y)=d(A), pero sabemos que existen a, b ∈A tales que f(a)=x y f(b)=y, luego d(x,y)=d(f(a),f(b)) < d(a,b) lo que contradice el valor del diámetro d(A). Esto dice que existe un único x∈A con f(x)=x.∎
Ejemplo. Sea f(x)=x−x2/2, para todo x ∈ X=[ 0,1].
Como f(y)−f(x)=f´(w)(y−x) (teorema del valor medio), luego f(y)−f(x)=(1−w)(y−x) (0≤x<w<y≤1), luego | f(y)−f(x)|=|1−w||y−x| < |y−x| . Es decir f es una aplicación contráctil. Es muy fácil ver que no es una contracción.
Ejemplo. Sea f(x)=(x+(x2+a)1/2)/2 para todo x∈ X=R. Suponemos que la constante a es no negativa.
Como f´(x)=(1+x/(x2+a)1/2) y |x/(x2+a)1/2|< 1, se deduce que
| f(y)−f(x)|=|(1+w/(w2+a)1/2) ||y−x| < |y−x| (x<w<y)
Esto dice que f(x) es una aplicación contráctil. Veamos que no tiene punto fijo, en efecto, de lo contrario, f(x)=(x+(x2+a)1/2)/2=x para algún x. Resolviendo la igualdad se llegaría a que a=0, lo que es contradictorio. Observe que X=R no es compacto.
Nota. Los resultados son ejercicios propuestos en el capítulo de Compacidad en espacios métricos del libro "Topología" de James R. Munkres, editorial Prentince Hall. Madrid. 2001.