SLC S23 Semana 5 || Coordenadas y vectores

_F

Tarea 1. Explica la recta numérica y el plano de cartesiano. ¿Cuándo aprendiste por primera vez sobre coordenadas? ¿Te resultó difícil?

La recta numérica es una línea geométrica unidimensional que contiene todos los números reales representados en puntos marcados en dicha recta en un plano, es decir, cada punto tiene asignado un número real. También se puede usar para representar números naturales, enteros y racionales.

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas definido por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se interceptan en un punto denominado origen. Una de estas rectas es horizontal y se denomina eje de las abscisas. La otra es una recta vertical denominada eje de las ordenadas.

_{El plano cartesiano y sus rectas numéricas}
Con este sistema es posible representar un punto en un plano bidimensional ubicado con las coordenadas cuyos componentes están representados numéricamente en la abscisa y la ordenada. Generalmente se identifican como coordenadas de un punto (x,y).

El plano cartesiano tiene su origen en el creador de la geometría analítica, el filósofo y matemático René Descartes.

Creo recordar que supe de las coordenadas en mi primer año de la escuela secundaria, al principio todo lo nuevo me pareció difícil pero a medida que iba conociendo el plano cartesiano cobraba más sentido su importancia, estudio e interpretación, sobre todo en la geometría y el arte, más tarde en la ingeniería, topografía, astronomía y mucho más.

Debo confesar que si en aquel tiempo hubiese existido GeoGebra todo hubiese sido estupendamente genial..!

Tarea 2. Conecta los pares de puntos con vectores. ¿Qué vectores se forman? Muestra estos vectores en el plano: A(-3, 11), B(4,7), C(0,4), D(4,0), E(-4,-7), F(11,3). Si se muestran todos los vectores, habrá demasiados, así que muestre sólo algunos. Por ejemplo 5 ó 6.

Primeramente inicié sección en GeoGebra y configuré en el menú de herramientas la pantalla para hacer visibles los ejes cartesianos o rectas numéricas así como las cuadrículas mayores y menores que me facilitan la ubicación y representación de cualquier punto en el plano.

_{Colocando algunos puntos de los vectores}
Pulsé la herramienta “Álgebra” en la esquina superior izquierda de la pantalla e inicié la entrada de los puntos con sus coordenadas en la casilla donde aparece el signo “+”. En este vídeo gif se puede observar cómo se introducen las coordenadas de los tres primeros puntos (A, B y C).

Se introduce la letra que identifica el punto y seguidamente, entre paréntesis, se colocan la abscisa y ordenada separadas por el signo coma “,”.

De inmediato aparece cada punto introducido representado en el plano cartesiano. Haciendo uso del botón derecho sobre cada uno podemos hacer visibles sus coordenadas para nuestra verificación.

Se continúa el mismo procedimiento para el resto de los puntos (D,E y F), que puedes ver representado en el plano más adelante.

_{Conectando algunos pares de punto con vectores}
Representado todos los puntos solicitados comencé a conectar el par de puntos (A,B) con un vector, haciendo uso de la función “vector” en herramientas como se observa en el vídeo gif. Cuando pulsé la herramienta “Álgebra” observé que dicho vector formado se configura automáticamente en la entrada de coordenadas con un nombre “u” y el par de puntos que lo conforman (A,B).

Allí podemos configurarle sus propiedades, color, estilo, grosor, etiquetas, etc. de tal manera que dicho vector queda perfectamente definido y distintivo en el conjunto de vectores.

De aquí aprendí que para conectar un par de puntos con un vector podemos usar la herramienta “vector” o hacemos la entrada del nombre del vector y sus puntos (inicio, fin) directamente con la herramienta “Álgebra”. De esta última manera, formé el vector “v” entre B y F, como se muestra en el vídeo gif, me pareció más práctico, útil y preciso.

Siguiendo este mismo proceso pude formar los vectores restantes a mi libre elección que muestro más adelante.

_{Secuencia de todo el proceso para formar los vectores}
En este vídeo podemos ver todo el proceso que inicia con la ubicación de los puntos que formarán los pares, la conexión para formar cada vector y la configuración de sus propiedades.

_{Vectores formados}
El vector u = (7,-4) resulta de restar las coordenadas de sus extremos (A y B) en este caso, la abscisa del vector u es 7 resulta de restar 4-(-3) que corresponden a las abscisas de B y A respectivamente.

La ordenada de u es -4, resulta de restar 7-11 que corresponden a las ordenadas de B y A respectivamente. Así mismo el sistema resuelve rápidamente el resto de los vectores formados:

v=(7,-4); w=(-11,1); a=(4,-4); b=(-8,-7) y c=(1,18)

Tarea 3. Sitúa en el plano los vectores a(3,7), b(-1,-3) y c(1,5). Construye el vector a + b + c.

_{Representación de los vectores a, b y c}
Básicamente ubiqué por “Álgebra” los puntos A, B y C como el extremo final de cada vector y como inicio los puntos O, O1 y O2 respectivamente ubicados en el origen de coordenadas. De tal manera, que definí cada vector con sus pares a=(O,A), b=(O1,B) y c=(O2,C).

A medida que formaba cada vector las separaba para configurar sus propiedades y diferenciarlas en el conjunto.

_{Proceso de suma de los tres vectores.}
Para sumar los vectores a+b+c, comencé con trasladar el vector “b” coincidiendo su origen con el final del vector “a” y seguidamente traslado el vector “c” coincidiendo su origen con el final del vector “b”, como se observa en el vídeo.

El resultado de la suma resulta el vector que une el punto origen de “a” con el punto final de “c”. Este vector está resaltado en color negro con un mayor grosor e identificado como a+b+c =(3,9).

Este resultado se puede convalidar al sumar las abscisas de los vectores a,b y c = 3-1+1 =3 y las ordenadas de a, b y c = 7-3+5 =9. El vector resultante es (3,9).

Existe una forma más directa de sumar los vectores a,b y c, entrando en “Álgebra” la expresión v=vector (a+b+c) e inmediatamente se representa este vector resultante partiendo con punto inicial en el origen de coordenadas como se muestra en el vídeo. Allí también se comprueba el resultado.

_{Resultado comparativo}
Se puede observar el resultado comparativo haciendo la superposición y directamente con la suma algebraica de a+b+c.

Tarea 4. Sitúa dos puntos al azar y determina sus coordenadas. Construye un vector a partir de estos puntos y escribe sus coordenadas. Construye un vector que sea el doble del creado.

_{Determinación de las coordenadas de dos puntos}
Se definen dos puntos A y B al azar con la herramienta básica punto. Se determinan las coordenadas con el sistema GeoGebra que automáticamente genera las coordenadas activando la visualización del valor en la etiqueta de cada punto.

Tracé dos perpendiculares a los ejes cartesianos por cada punto, hallé los puntos de intersección en los ejes cartesianos y tracé los segmentos de recta de cada punto hasta la intersección, oculté las líneas perpendiculares y configuré las líneas que definen la posición de cada punto en el plano.

Con esto validamos las coordenadas de cada punto por el sistema GeoGebra.

_{Construyendo un vector con dos puntos}
Con la herramienta “vector” conectamos el punto A de inicio con el punto B final para obtener un vector u =(2,3), realizando la configuración de propiedades para la identificación correspondiente de dicho vector como se muestra en el video.

_{Construyendo un vector de doble tamaño a un vector dado.}
Para este caso utilicé dos puntos G y H cuyas abscisas y ordenadas se obtuvieron de multiplicar por dos las coordenadas de A y B. Tracé un vector (G,H) denominado 2u (4,6) que es exactamente el doble del vector “u” como se muestra en el vídeo.

Pero no es la única forma de obtener un vector doble. Procedí a ocultar el vector 2u y procedí a ingresar un nuevo vector “w” con solo expresar 2u en “Álgebra” e inmediatamente apareció el vector doble que comienza en el origen de coordenadas.

Lo distinguí con el color azul, volví a hacer visible el primer vector doble y pude comparar que son exactamente iguales como se muestra en el vídeo.

_{Dinámica del vector doble
Resultado comparativo}
De estas dos formas puede decir que me gustó más la segunda opción (color azul) por cuanto queda vinculado a la dirección y tamaño del vector “u” creado inicialmente, manteniendo en todo momento la proporción del doble de manera automática.

En fin la forma que escojamos depende del propósito que nos sea más útil.

Tarea 5. Construye tres vectores arbitrarios: a, b, k. Construye los vectores u = a + b y v = b - k. A continuación, construye u + v y u - v.

_{Construyendo tres vectores}
Definí tres vectores arbitrarios a, b y k con la función “vector”, les designé sus propiedades y las separé un poco para facilitar las operaciones solicitadas.

La suma u=a+b la obtuve trasladando el vector “b” de tal manera que su origen coincida con el final del vector “a”, de tal manera que al unir el origen de “a” con el final de “b” genero el vector u=a+b, resultando u=(4,3) como se muestra en el vídeo.

Luego me piden v=b-k, para ello ubique la función equipolente de “b” que pase por el origen de “k” como se muestra, de tal manera que conecto el final de “k” con el final de “b” dando como resultado el vector solicitado v=b-k = (-5,6).

Seguidamente construimos u+v, utilizando una equipolente de “v” cuyo origen pasa por el punto final de “u”, luego conecto el origen de “u” con el final de “v” obteniendo la suma u+v= (-1,9).

_{Determinando u-v}
Para lograr u-v, se utilizó un equipolente de “v” cuyo origen pasa por el origen de “u” y luego conectamos el punto final de “v” con el inicio de “u”. Finalmente obtenemos el vector resultante u-v =( 9,-3), como se observa en el video gif.

Otra forma rápida de obtener los vectores resultantes solicitados es ingresando las expresiones algebraicas a+b, b-k , u+v y u-v en la entrada de "Álgebra" e inmediatamente obtenemos los vectores resultantes partiendo del origen de coordenadas. Esto me permitió convalidar el resultado de cada vector resultante obtenido previamente como se muestran al final del vídeo gif.

_{Vector resultante v= b-k}
Es este capture podemos comprobar la resultante v=b-k. Se cumple que la diferencia entre las abscisas de "b" y las de "k" es 0-5 = -5. Análogamente la diferencia de las ordenadas de "b"-"k" es 3-(-3) = 6. Por tanto, las coordenadas de v son (-5,6).


En este capture podemos apreciar el resultado de los vectores u=(4,3), v=(-5,6), u-v=(9,-3) y v-u=(9,-3), fácilmente comprobables con la operación algebraica de sus coordenadas.


En este capture podemos observar agregados en el origen de coordenadas los vectores resultantes solicitados obtenidos directamente por "Álgebra" y compararlos con precisión con los obtenidos por la formación del triángulo explicado en el clase.

Notas:

📌 Imágenes propias presentadas con la aplicación canva.com
📌 Invito a participar a mis amigos @paholags @marito74 @genomil @cruzamilcar63 @dove11 @goodybest
📌 Más información del concurso en el siguiente enlace.
📌 Mi twitter: steemit_casv

¡Gracias por su visita!