29-01-2025 - Education - Linear Algebra - Linear Dependence and Independence [EN]-[IT]

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[ENGLISH]
29-01-2025 - Education - Linear Algebra - Linear Dependence and Independence [EN]-[IT]
With this post I would like to provide some brief notions about the technical topic mentioned in the subject.
The context in which we operate is that of analytical geometry or linear algebra
(code notes: MOD-92)

Linear Dependence and Independence
Let's try to define the dependence and independence that vectors can have.
NOTE: Let's remember the definition of vector. A vector is an element of a vector space that can be added to other vectors and multiplied by scalars. In mathematics and physics, a vector is defined by a modulus, a direction and a direction. The modulus is the length of the vector, the direction is the line on which the vector is located, and the direction is indicated by the tip of the vector.
Dependence
Vectors are linearly dependent when there is a linear combination that combines them to obtain the null vector. Be careful, the combination must not be trivial, that is, with coefficients that are not all null. We can also see the situation in the following way.
The vectors v1,v2,... , vn are linearly dependent if there exist scalars c1, c2, ….cn, not all zero, such that:
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0

Independence
The vectors are linearly independent when none of them can be written as a linear combination of the others. Returning to the definition above, we can say that it is practically the inverse.
In other words, the vectors v1,v2,... , vn are linearly independent if the only solution to the equation:
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0
is
c1=c2=...cn = 0

Examples:
The following pairs of vectors in R3 are formed by linearly independent vectors.
t(2 3 -1), t(4 5 -2).
We can see that there is no scalar number that multiplied by one of the two vectors can generate the other.
However, there is another method to understand if two vectors are linearly independent.
You can form a matrix with these vectors as columns and calculate the rank of the matrix. If the rank is equal to the number of vectors, then the vectors are linearly independent.

The following pairs of vectors in R3 are formed by linearly dependent vectors
t(2 -3 -1), t(4 -6 -2).
If we identify the two vectors v1= (2 -3 -1), v2=(4 -6 -2) we note that they are linearly independent because one of the vectors can be written as a linear combination of the other and in this particular case we note that v2 = 2 * v1
Resuming what we wrote before we can also do the proof:
2 * (2 -3 -1) = (4 -6 -2).

Conclusions
In a nutshell, we can say that two vectors are linearly dependent if one of the vectors can be written as a linear combination of the other, otherwise they are independent.

Question
Have you ever studied linear dependence or independence between vectors at school?

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[ITALIAN]
29-01-2025 - Education - Algebra lineare - Dipendenza e indipendenza lineare [EN]-[IT]
Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento tecnico citato in oggetto.
Il contesto in cui operiamo è quello della geometria analitica o algebra lineare
(code notes: MOD-92)

Dipendenza e indipendenza lineare
Proviamo a definire la dipendenza e l’indipendenza che possono avere i vettori.
NOTA: Ricordiamo la definizione di vettore. Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale che può essere sommato con altri vettori e moltiplicato per scalari. In matematica e fisica, un vettore è definito da un modulo, una direzione e un verso. Il modulo è la lunghezza del vettore, la direzione è la retta su cui si trova il vettore, e il verso è indicato dalla punta del vettore.
Dipendenza
I vettori sono linearmente dipendenti quando esiste una combinazione lineare che li combina per ottenere il vettore nullo. Attenzione la combinazione non deve essere banale cioè con coefficienti non tutti nulli. Possiamo vedere la situazione anche nella seguente maniera.
I vettori v1,v2,... , vn sono linearmente dipendenti se esistono scalari c1, c2, ….cn, non tutti zero , tali che:
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0

Indipendenza
I vettori sono linearmente indipendenti quando nessuno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Riprendendo la definizione di prima, possiamo dire che praticamente è l’inverso.
In altre parole, i vettori v1,v2,... , vn sono linearmente indipendenti se l’unica soluzione all’equazione:
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0
è
c1=c2=...cn = 0

Esempi:
Le seguenti coppie di vettori in R3 è formata da vettori linearmente indipendenti.
t(2 3 -1), t(4 5 -2).
Possiamo notare come non ci sia nessun numero scalare che moltiplicato ad uno dei due vettori possa generare l’altro.
Però c’è un altro metodo per capire se due vettori sono linearmente indipendenti.
Su può formare una matrice con questi vettori come colonne e calcolare il rango della matrice. Se il rango è uguale al numero di vettori, allora i vettori sono linearmente indipendenti.

Lle seguenti coppie di vettori in R3 è formata da vettori linearmente dipendenti
t(2 -3 -1), t(4 -6 -2).
Se andiamo ad identificare i due vettori v1= (2 -3 -1), v2=(4 -6 -2) notiamo che sono linearmente indipendenti perché uno dei vettori può essere scritto come una combinazione lineare dell’altro ed in questo caso particolare notiamo che v2 = 2 * v1
Riprendendo quanto abbiamo scritto prima possiamo anche fare la prova:
2 * (2 -3 -1) = (4 -6 -2).

Conclusioni
In maniera sintetica possiamo dire che due vettori sono linearmente dipendenti se uno dei vettori può essere scritto come una combinazione lineare dell'altro, altrimenti sono indipendenti.

Domanda
Avete mai studiato a scuola la dipendenza o l'indipendenza lineare tra vettori.

THE END