제곱수의 끝자리는 올 수 있는 수가 항상 정해져 있다. 퀴즈 518번은 이 사실을 바탕으로 만든 문제이다.

퀴즈 518 7로 끝나는 제곱수

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7로 끝나는 제곱수는 존재하는가?

풀이

사실 더 나아가 어떤 수의 제곱수의 끝자리는 2,3,7,8 로 쓰일 수 없다.

먼저 임의의 자연수는 임의의 자연수 a 와 한자리 수 b를 가지고 표현할 수 있다. 10a+b
[뭐 사실 이는 자명하다. a=0 이면 b 로 한자리를 다 표현할 수 있으니 그걸로 됬고 a=한자리 수이면 두자리수가 다 표현 가능, a= 2자리 수이면 3자리 수가 모두 표현가능하다. ]

그러면 이 수의 제곱은 100a^2 + 20ab + b^2 으로 (10a+b)^2 의 끝은 항상 b^2 의 일의 자리 숫자와 일치한다.

자 이제 b^2 의 끝자리가 될 수 있는 숫자들을 알아보자.
b=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 이면 b^2 의 끝자리는 0,1,4,9,6,5,9,4,1 즉 한자릿수의 제곱수는 0,1,4,9,6,5 로 끝나기에 2,3,7,8 은 올 수 없다.

정리해보면 제곱수의 마지막 수는 원래 숫자의 일의 자리 숫자에 달려있기에 끝자리에 2,3,7,8 이 있다면 그 수는 제곱수가 아니다.